偏导数以学定教模式

　　偏导数是多元函数微分学的重要组成部分之一，也是高等数学的重要内容之一。在求偏导数的教学过程中，要了解学情，把握教学大纲和求偏导数的方法：定义法、公式法、复合函数求导法、全微分法等。

　　［关键词］求偏导数；把握教纲；以学定教；求解方法

　　一、问题提出

　　在求偏导数的教学过程中，把握教纲，要根据题型类型特征选择有效的求解方法。求偏导数的有些内容比较繁难，算量大、情景新、交汇强。因此，在课堂教学中了解学情，“以学定教”，掌握偏导数的定义、定理、公式的表述形式及其应用。梳理其知识体系［１］；根据教学大纲，选择难易度适当的教学内容。清华大学数学科学系白峰彬认为，基础课像打桩子，要想让基础有用，基础课就要有一定的难度，后续课程就像给这些桩子建立联系。关键是分析“难之所在”和“难”的原因。对抽象之处，形象描述，创设思维切入点和思维的最近发展区。对繁琐之处的预设，要条分绥析，对枯燥之处要补充素材配点“小插曲”，引起学生兴趣和注意［２］。注重教学内容、教法的选择，真正为学生解决数学中遇到的实际问题，给予学生在成长中的动机、行为、情感、态度、价值观等方面的激励和帮助。

　　二、偏导数“以学定教”模式的路径选择

　　偏导数的计算或证明的思路选择，一般可以选择：定义法、公式法、复合函数求导法、全微分法等。根据题型特征选择方法，关键是要灵活运用概念、公式，灵活选择解题方法。１．用偏导数的定义公式求解或证明有关问题对于一元函数来说，连续未必可导，可导未必连续；但是，对多元函数来说，偏导未必连续，不连续未必不偏导，这两个结论看似矛盾，其实是一致的，多元函数的偏导数实质是一元函数的导数，偏导数只要对相应的一元函数（不是多元函数本身！）满足“连续未必偏导，偏导未必连续”的结论。例如设ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在（ｘ０，ｙ０）处可偏导，则一元函数φ（ｘ）＝（ｘ，ｙ０）在ｘ０处连续；而若φ（ｘ）＝（ｘ，ｙ０）在ｘ０处连续，ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在（ｘ０，ｙ０）处对ｘ未必可偏导。关键是应用偏导数的定义：如果ｆ（ｘ，ｙ）在区间Ｄ内每一点（ｘ，ｙ）处对于ｘ的偏导数都存在，那么ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ内的偏导数无关，是暂时不变的，可看作常数，但在偏导函数ｆｘ（ｘ，ｙ），即上述极限的结果中，ｙ是自变量，求偏导数时应把握变与不变的辩证关系。偏导数与偏导数之间的关系，是函数与函数值的关系，这一点与一元函数的情形类似。怎样让学生的思维真正活动起来，这个动力就是“问题”，有思维价值的问题可以把学生带入“愤悱”的境地。在课堂教学中注重高层次与低层次的提问。提问是为了激发学生的兴趣，多角度的理解所学内容，启发学生在动口中学会提问，在动手中体验解题的经验，在动脑中锻炼和提升逻辑思维能力。应用公式求解时，要厘清公式成立和适用范围，即掌握多元函数与多元函数复合情形的有关定理，根据学情，尽可能把每一步的求解过程讲懂，把思路讲清，把课讲懂是教学对教师的基本要求。２．复合函数求导法、全微分法求偏导数有些隐函数的偏导数或高阶偏导数的求解，要紧扣定义、定理、公式的提问。例如，求高阶偏导数，从低到高分步计算写出将要用到的各阶偏导数，切忌从高到低一步写出结果。哈尔莫斯说：“学习数学的最好方法是解题”，解题是教学的主体，也是落实人才培养的具体要求和落实教学过程中教师承担的道德教育的重任，不能忽视数学概念的教学，偏导数教学课堂可以分为概念科、原理课、解题课［３］。偏导数的计算是一种实践能力，要靠长期训练和积累，才能有效确保计算的准确性和快捷性［４］。在用全微分的方法时，把所有变量视为自变量，对方程两边求微分，再把所要求的隐函数的微分当作未知量，从方程或方程组中求解。偏导数思维中的求变、求异、求新与学生头脑中框框少，敢想、敢于突破的特点相一致。学生说，此题能否变形？学生的见解给教师以启示，乃至学生解题能力超过教师，是很正常的一般说来，为了便于记忆，防止遗漏，多元复合函数的偏导数公式也可以图解（图略），用图表示各自变的复合关系。求偏导数的目的过程和实际价值的体现，在于发挥学生的数学潜能，提高教学质量和效益。

　　三、结语

　　马克思说：“一种科学只有成功地运用数学时，才能达到了真正的完善的进步。”培根认为：数学是“通向科学大门的钥匙”，现今人们已经认识到数学是一切科学的语言和工具。今天虽然强调登塔尔所主张的“再创造”的过程，但这决不意味着学生遇到困惑时老师袖手旁观，任凭学生自己去苦苦挣扎，而放弃自己才智和德行，为学生译疑解惑，洞察疑难困惑之所在，准确把握解决疑难困惑之关键。求偏导数教学的根本目的，就在于引领学生掌握具有普遍意义和广泛迁移价值的策略性知识数学思想方法。概念是判断的工具，它能使我们形成类化的能力，使我们的知识标准化，并促进对未知事物的认识。强化偏导数的概念、公式的理解，理解是学好偏导数的关键和核心，没有对偏导知识的理解就没有求偏导数的技能的掌握，也没有数学能力的发展，更没有大家热议的学生良好数学素养的形成［５］。对于不同的内容不同的解题方法使用的条件、适用的范围都需要周密的分析并引起高度重视。重视问题的表征、言语和方法，充分挖掘、适时渗透学生问题和学科内容本身蕴含的元素。有效互动探索解题思路、解题方法和解题路径［６］。

　　［参考文献］

　　［１］李祎．高水平数学教师应用教什么［Ｊ］．数学教育学报，２０１４，２３（６）：３１－３４．

　　［２］邱云兰．高等数学“以学定教”模式的研究［Ｊ］．曲阜师范大学学报：自然科学版，２０１８，４４（４）：１２５－１２８．

　　［３］何勇，曹广福．数学课堂如何兼顾学生数学素养与应试能力［Ｊ］．数学教育学报，２０１４，２３（４）：６０－６２．

　　［４］邱云兰．有效使用高等数学规划教材的思考［Ｊ］．曲阜师范大学学报：自然科学版，２０１９，４５（２）：１１９－１２５．

　　［５］李光树．关于数学知识理解的再研究［Ｊ］．课程·教材·教法，２０１７，３７（１）：４９－５５．

　　［６］邱云兰，曾峥．高职高等数学课堂教学中的互动解题研究［Ｊ］．数学教育学报，２０１３，２２（３）：３９－４３．

　　作者：邱云兰

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