数学证明编史学中的一个理论问题

一　公认古代世界数学证明史中的一个问题

在过去的30多年中，一些研究中国、美索不达米亚和印度地区古代文献的数学史家陆续发表文章和专著，宣称他们在这三大地区的数学文献中发现了证明。① 这些数学史家的研究工作都是独立展开的，所讨论的证明在性质上也是不同的，而且对于遇到的材料，他们的解释也没有统一的标准。尽管如此，这些研究者们提出的很多或新或旧的证据，向目前流行的有关早期数学证明史的观点提出了挑战，这一观点认为数学证明的发端应当且只能从古希腊的文献中去追溯。值得一提的是，这些数学史家中部分人在一定程度上重新回归到十九世纪初的编史学研究路数上。正如拉伊纳(Dhruv Raina)指出的，在19世纪初，像科尔布鲁克(Colebrooke)这样的欧洲学者承认古代用梵文写作的数学文献中存在数学证明。但是，这种观点在19世纪末到20世纪的编史学中消失了。②

一个令人困惑的事实是：在研究这一领域的专家小圈子之外，这些研究结论被忽视还算是不错的情况，更多情况下则是被断然否定。很明显，到目前为止，这些研究论著还没能动摇大多数科学史家和科学哲学家或其它学者所持有的有关早期数学证明史的一般观点。

我们有必要分析一下以上这种研究结论长期不被接受的状况。为了理解和说明这一状况，首先需要确定我们整个社会对数学证明的认识和看法与哪些因素有关。只有先进行这样的反思，我们才能更自由地讨论数学证明这一议题，并逐步理解那些能证实古代世界许多传统中存在证明这一结论的新证据。③

本文仅探讨在我看来与古代世界数学证明史的讨论有关的一个因素，尽管它不是唯一的因素，但起着关键作用。我的观点如下：当前对于数学证明的目标究竟是什么已经形成固定不变的概念，从而阻碍了对数学证明进行全面的历史分析。我认为这种僵化的概念是失于偏颇的，而对于上文提及的新证据的研究正是给我们提供了一个机会，使我们能认清这种偏颇状态并采用全新的视角对数学证明这一问题进行思考。

二　有关确定性的问题

以下对我的观点进行详细阐述。数学证明的基本特征——使得数学证明在数学领域之外得以广泛传播及受重视的首要特征——即正如"证明"一词本身所暗指的，它给我们带来确定性：被证明的结论可以(或期望能)被当作真实可靠的。④ 确立某条知识的真实性并让反对者也承认该断言无可辩驳，这似乎就是数学证明的作用和目标所在。

显然，如果采纳以上观点，我们就得承认证明活动需要一些不容置疑的、正确无误的出发点(如定义、公理等)。⑤ 事实上，如果开展证明不是从没有任何异议的前提条件出发的话，就得不到确切的结论，从而也不能达到一致认同。基于此(严密性之类的要求也由此提出)，必须采用合理的论据并以一种可靠的方式从出发点推导出确切的结论，接着新的结论又在先前的结论或出发点的基础上推出。证明就这样一步一步进行下去。

换句话说，一旦你认定数学证明得用一种无可辩驳的方式来开展，那么紧接着你会发现这样的证明只能在这类或那类"公理·演绎"体系中方能实现。在这种假设与境下，欧几里得的《几何原本》乃是第一本已知的包含证明的数学著作。此外，任何宣称某一给定文献里包含数学证明的说法就必须相应地照此标准来被判真伪——实际上已经这么做了，正如我们在众多数学史和数学哲学的著作中所见到的一样。

在我看来，正是这个小小的策略使得古希腊几何著作在数学证明史的讨论中占据着如此重要以至于无懈可击的地位，而这一地位也是一些科学史和科学哲学领域的学者近来抛弃那些认为巴比伦、中国或印度的古文献中包含证明的论断的核心理由。我这样的推论在很多人看来可能过于简单，但我要说这恰恰是问题的关键之处。⑥ 如果我说对了，那么在对证明展开更广泛的历史探究时就必须对这一推论进行批判性分析。

上述数学证明的特征很明显意义不凡，即便在数学领域之外也是如此。然而，就数学本身而言，我们凭什么将"无可争议性"视为数学证明最根本的价值和目标所在呢?

三　当今对于数学中为什么需要证明的几种不同观点

为了论述这个问题，我们将讨论的范围限定为数学与境下的证明。这里有一个将对我们的讨论有用的简单事实：历史上不少著名学者开展的数学证明并不属于"公理—演绎"体系。⑦ 实际上，高级数学读本主要用"公理—演绎"方式写作的时代要比不用这种方式写作的时代短暂得多。在不想用"公理—演绎"体系组织数学知识的情况下，著者往往并不着意强调严密性，但他们也把所著的内容称为证明。⑧ 也许有人会认为这些数学家们是忽略了某些难点并犯了一些错误。然而，这种反对意见丝毫不能抹杀正是通过此类证明而提出的大量理论和得到的结论。如此看来：对于相当数量的数学家而言，证明的目标从来就不会仅仅是通过说理保证确定性和不可争辩性，且不说这还未必是他们的目标。即便如此，他们仍然认为寻求证明是值得的，而且从数学角度看来，他们的证明活动依然是卓有成效的。

在我看来，现代数学中仍然可以看到不把确定性奉为圭臬的证明活动。即使在论述现代证明活动时，数学家们依然会强调其工作⑨ 是在"公理—演绎"的框架下完成的，以此保证证明的确定性及结论的严谨性，但在实际工作中他们赋予证明的功能却非常多样。对于这一点的深入了解，可以参看20年前发表于《美国数学学会会刊》上的一些辩论性文章⑩。贾菲(Jaffe)和奎因(Quinn)的文章是这一讨论的缘起，他们提出除了那些保证确定性的证明之外，"猜测"(他们称之为"理论数学")在数学发展中也占据重要地位。然而，他们担心把严密的证明(产生确定性的证明)与见解、论证等混为一谈会造成某种混乱。因此，他们建议在出版规范中应该考虑将以下两方面予以严格区分：一方面是"定理"、"说明"、"概念"和"证据";另一方面则包括"推测"、"预设"、"动机"和"支持性的论据"等。(11) 鉴于当今这些不同类型证明的对立，或许可以大胆地提出，我们也要对历史上证明的类型进行区分。有些历史学家由此宣称："证明"一词应该专指希腊文献中的证明，而上述术语中其他各项应该用于所有的文献。

本文不可能详细讨论这个争论。不过，为了达到本文论述的目的，我们观察一下将"真正的证明"与其它类型的"论证"加以区分的做法在数学界引起的强烈反响，这将是很有趣的。从发表在《美国数学学会会刊》上的一系列文章来看，出现了一种关于证明活动的更加复杂的观点，其中严密的证明引起褒贬不一的看法，而且与其它的证明模式共存。(12) 此外，证明同数学活动的其它方面之间的关系也是错综复杂的，需要作进一步分析。涉及到本文主题，具有讽刺意味的是，许多数学家对把中国和印度文献中的论证看作是证明并不感到难以接受，然而另外一些学者却不认为这些文献中的论证称得上是证明。我将这一事实解释为是数学团体乃至之外有各种证明活动和大量证明的表述相共存的又一迹象。即使证据还有待加强，以上事实至少提示我们：对于数学证明是什么或者应该是什么，在数学家群体中存在争议。在这种情况下，为什么历史学家和哲学家们要选择某一种观点作为唯一正确的答案，并以此来文饰过去，更不用说文饰现在呢?

下面回到一个与本文论点有关的问题：确定性是不是当今寻求数学证明的主要动机。在此值得一提的是，由贾菲和奎因的文章引发的诸多讨论都表现出这样一种担忧，即严格限制证明一定要保证确定性的做法会给数学这门学科带来损失。相比之下，这一争论也使我们能观察到数学家们附加于证明的多种不同功效，包括：带来"明确、可靠性"、提供"反馈和修正"、"新的观点和意料之外的新数据"[Jaffe, et al 1993]、"未知现象的线索"[Jaffe, et al 1994]、"思想和技术"[Atiyah, et al 1994]、"理解"(13)、"能推导出高等数学的有趣数学概念"、一个数学对象"结构的特定观念的支持论据"[Thurston 1994]。(14) 只有当头脑中有了这些多样化的目标之后，我们才能对一些数学活动进行解释，否则它们就会被看作是不可思议的。例如，我们何以解释重新证明一个已经建立的论点会是卓有成效的?(15) 对数学证明的考察若限定在更有限的范围中，我们就会明白促使数学家们进行证明的千百种理由。(16) 再者，数学证明这一研究对象以及附属于它们的价值、将数学证明公式化的动机、写出证明的具体过程等方面若不被考虑的话，则表明我们对数学证明的历史研究有重大缺陷。

四　关于数学证明史的新观点

通过以上探讨，我们可以得出两个结论。

首先，如果我们把证明史的研究仅仅局限于探求前人是如何设法建立一种无可争议的理论体系的话，那么这样的证明史将面临被片面肢解的风险。不过，在我看来，数学史家和数学哲学家们对于这一观点往往是习以为常的，这乃是数学史界的一种缺失。本文揭示出被普遍认定的关于数学证明的那些偏见的根源，从而突出了众多原因中的一个主要原因，即为什么巴比伦、中国和印度的相关证据都完全被忽视了。不管怎样，我们现在看到，如果将证明理解成是我们试图探讨其科学活动的古代数学家所开展的一种活动，这样的数学证明史的研究方案并不能令人满意。

其次，从反面来说，本文勾勒出的是另一种关于数学证明史的方案，这是一个更加开放且使我们能从多样化的古代文献中获益的方案。我们可能有兴趣去了解，当过去的那些不同数学家团体有意于证明一个理论的正确性或一个算法的可行性时，他们所追求的目标究竟是什么。我们或许还想知道，他们的目标如何作用于他们的证明活动，以及他们是如何将这些证明活动记录下来的。(17)

事实上，一些与证明活动相关的其它作用在过去已经被清楚地解释过，有时候人们一度认为它们的重要性超过保证确定性这一作用。与此相关，不同于以往将不可辩驳性作为评价证明活动的标准，现如今认识论方面的价值已被用来评估证明活动的重要程度。就这方面来说，我们不妨回顾一下欧洲17世纪的一场争论，这场争论是关于如何通过数学证明确保理论的正确性从而实现对理论的理解和接受。其间，旧版欧几里德《几何原本》并没有被人们重视，而新版《几何原本》因增添了更为充分的数学证明内容从而比较满足人们的需求。(18) 这个例子说明不同类型的证明活动是怎样因着不同的需求而产生。

这一新的数学史研究方案对于古代传统意味着什么?关于这个问题，我和几位同事在《古代传统中的数学证明史》(剑桥大学出版社，待出版)一书中有过详细论述。毋庸赘言，将历史的和认识论的方法应用于数学证明的研究中，将为我们打开一个更广阔的空间，而这本书的出版只不过是朝这个方向迈出了第一步。

为了打开这一讨论的空间，我们来看为什么以下这一点很关键——即我们用"证明"这一术语的意思应该只是指，说明某一论断的真实性或某一算法的正确性作为数学家的意图之一可以在文本中找出来。换句话说，我们绝不应该拘泥于那些看来是本质上规定了证明是什么的规则和价值，从而先验地限制了我们的研究文献。

从这一点出发，问题的关键是要弄清不同时期和不同地区赋予证明的多种多样的目标和功能，以及相应地构建起来的多种多样的证明活动。一方面，我们的目标应该是试图分析古代数学家究竟是为何以及怎样来进行证明活动的。另一方面，我们要探索证明活动是如何跟数学活动的其他方面相联系的，并在可能的情况下探讨数学在当中得以发展的社会和学术环境。进行这样的探索应该可以得到丰硕的成果。以上几方面，都是我在研究中国现存最早的数学文献中的证明时一直思考的问题。(19)

在这样很具体的事项之外，还有一些更一般化的问题值得我们探讨。

从历史的角度来看，我们需要质疑的是：数学证明的发展史是否呈现出在当今似乎是不言而喻的线性发展模式。如果数学证明史包含一系列错综复杂的实践过程，那么我们就不能简单地将其归结为单一概念的简单展开和递进。当今数学中明确区分了的多样化的证明活动究竟是如何继承了早期同样是明确不同的证明活动呢?这种历史模式相当复杂，在许多地区都可以找到它的根源。更具体而言，我们可以为自己设定这样的任务：去搞清楚发现于古代传统中的各种证明活动或其组成元素(比如证明的步骤或动机)是如何发展、流传并相互影响的。当我们试图说明证明活动是一个核心的但具有多层次结构的数学探索过程，并且这一过程不像人们以往所认为的是以线性的方式在历史中展开，以上提到种种问题的就是我们即将面临到的。

另外，以认识论的视角来看，我们感兴趣的是通过多种途径的研究实现对数学证明这一科学活动的总体理解。鉴于此，我们尤其感兴趣的问题是：从这一视角研究所有早期文献时，我们究竟能获得哪些深刻见解?在我看来，这应当是说服我们开拓研究视野并在更多样化的古代文献基础上对数学证明这一问题进行思考的关键动机。

注释：

① 就中国的情况而言，研究此问题的第一批中文出版物中一定要提到吴文俊(1982)以及两期学术期刊：《科技史文集》第八辑(1982)和《科学史集刊》第十一辑(1984)。此后，又出现了更详细的研究专著，包括：李继闵1990、郭书春1992、刘钝1993等，这些文章总结了前人研究，并做了进一步深入。同时，在此也要提及研究此问题的第一批英文文献：Wagner 1975(1 March 1976)、Wagner 1978、Wagner1979。此后相关中英文出版物为数众多，在此不一一列举。Chemla and Guo Shuchun(2004)试图提供了一个最新的论述及一份完整的文献综述。第一篇研究美索不达米亚地区数学文献中数学证明问题的文献是H

yrup 1990。此后，J. H

yrup一直致力于对该问题的研究，并与同一领域的其它专家一道支持和发展该研究项目。该项目的研究成果在美索不达米亚数学界受到广泛重视，其综述见H

yrup2002。关于印度地区的情况，见Hayashi 1995(pp. 75-77)、Jain 1995。最近又有Patte 2004、Srinivas 2005、Keller 2006等论著相继发表。

② 见待发表的Raina的文章。待出版的Chemla(ed.)则是更系统地讨论了此问题。

③ 这里解释了使前面脚注中列举的论著得以出版的共同努力不仅涉及到历史学且涉及到数学证明编史学的研究。当然，这一领域还有更多问题有待解决。

④ Grabiner 1988认为：确定性和普适性是数学之所以对于"西方思维"很有影响力的两个重要特征。这两个特征也的确在徐光启为汉译欧几里得《几何原本》撰写的前言中占据突出地位。见Engelfriet 1998, pp. 291-297)。Grabiner对确定性是如何从证明中产生这一问题所进行的分析影响深远，这揭示了确定性的重要性影响规模之大，尤其是在神学领域。Hacking 2000则较清晰地分析了确定性和与之相关联的特征对于某些哲学家的重要性。

⑤ Lloyd已发表大量论文探讨使这些问题在古希腊成为主导性问题的历史与境。他为我们展示出：在一个特定与境下一些希腊数学家如何被引向选择某一特定的证明方法。Lloyd为我们提供了研究证明方法的社会史方面的基本元素。此外他还揭示出：与被广泛接受的观念相反，所有选择某一特定证明方法的古希腊学者，在现代读者看来，也不是采用一种统一的令人信服的方式来开展他们的证明。Lloyd通过描述多个领域中采用这同一证明方式在做法上各不相同而得出这一结论。见Lloyd 1990。

⑥ 在前一段落中，我已经根据当今对确定性由何产生的看法描述了一种推理模式。尽管确定性、出发点以及由出发点保证确定性的推理模式仍然是在对数学证明讨论中的恒定话题，但它们的意义在历史上呈现出各种差异。见Mancosu 1996，尤其是第一章。

⑦ 柏拉图《美诺篇》中关键性的证明在哲学史上产生了巨大影响。不过，极大的讽刺性是，这一证明并不是按照"公理演绎"系统表述的。见Hacking 2000。现代哲学家如拉卡托斯(1970)提出"一种无基础的数学观"。见Hacking 2000, p. 124。只可惜这类观点至今也没有对古代数学史的研究产生明显影响。Rav 1999, pp. 15-19列出了现代数学的几个主要研究领域，在这些领域中还没有提出公理，不过被认为是精确的。他进一步强调现代数学中使用的"公理"具有多种含义。

⑧ 我想没有任何一部历史著作会否定诸如莱布尼兹、欧拉、彭思烈和彭加勒等人曾记录过实际的证明过程。我想也没有人会建议将以上这些人从数学证明史中抹去：不论人们如何评论，他们无可争辩地为证明活动的形成做出了贡献。还有一些更有启发意义的例子在我下文的论述中会被引用到。见Jaffe and Quinn 1993, pp. 7-8。Jaffe and Quinn在文中涉及到"证明的弱标准"问题并认为在一些情况下，"动机"或者"支持性的论据"应该代替数学家所谓的"证明"，这一事实表明在现代数学著作中，所谓的"证明"指的应该是各种类型的论证。见Jaffe and Quinn 1993, pp. 7, 10。这一观点以下将再次提及。

⑨ Thurston 1994, pp. 10-11提出了一种完全不同的清晰解释。除了一些关于证明活动的全新看法之外，他摒弃了那种"认为存在统一的、客观的和基础牢靠的证明理论和实践的隐含假设"(p. 1)。Rav 1999提供了一种对于证明的可比但有所不同的解释，其对标准观点的批判入木三分。

⑩ 上文已经举出这一批争论性文章中的若干。这里列出这一争论的重点文章来源：Jaffe and Quinn 1993; Atiyah ef aJ 1994以及Jaffe and Quinn 1994。

(11) 见Jaffe and Quinn 1993, p. 10。

(12) 从这些证据中可以看出数学证明的书面文本和那些与证明相关的集体口头讨论之间的关系可能极为复杂，对于只能见到与证明活动的真实过程关系微弱的书面痕迹的历史学家们来说，这种复杂性着实让他们感到担忧。

(13) Martin Davis对"四色定理"的评价恰好说明了这一点：在他看来，计算机证明的弊端并不仅仅在于它会导致确定性的缺乏，而更多地在于它不能让我们理解"4"是从何而来的，这个数字是否是偶然的等等。(见Martin Davis于2007年10月2日的个人通信。)

(14) 正如我在上文中间接提到的那样，这些文章认为严密性的价值是有争议的。见Mandelbrot、Thom的相关论述。再者，必须强调的是：在当代数学中附属于严密性的价值或许更多地和严密性本身所提供的理解力与额外的洞察力相关而并非与严密性带来的更进一步的确定性相关。这一点在亚里士多德的《后天分析》中已有所体现。例如，Hilbert 1900证实了以下想法：严密性是卓有成效的并且它为决定一个问题的重要与否提供了一定的指导。见英文译本Hilbert 1902, p. 441。然而Rav 1999强调，即使当证明是错误的或者不充分的，它们仍然是新概念产生和新理论发展的主要来源。他进一步指出数学家们是在证明中而非在定理中寻找数学知识和对数学知识的理解。"概念与研究方法的创新不可避免地与数学证明的寻求和发现相关，从而在理论、知识的系统化以有刺激数学的进一步发展这三者之间建立起联系。"见Rave 1999, p. 6。

(15) Chemla 1992强调了这一点，该文是以Rota 1990对这一问题的讨论为基础的。最近，Avigad 2006正是从这一点出发对以下观点提出质疑：数学证明仅仅旨在"确保推导出定理的真实性"(p.15)。他还讨论了在数学家们评价数学证明过程中起作用的很多其他价值。

(16) 一些历史学家试图通过提出这样的观点来拓宽数学证明史的研究：即过去的数学家用多种方法使他们的同辈们接受一个论述的正确性。由此，数学家们使用的修辞学的手段受到关注。以上论述表明这一点何以无助于对证明活动形成一个足够宽广的研究视角。

(17) 这种分析及方案是我阐述在Chemla 1997(pp. 229-231)中一些建议的延伸。

(18) 关于这个问题参看Gardies 1984(pp. 85-108)第四章"L'interprétation d'Euclide chez Pascal et Arnauld"。

(19) 参见以下几篇文章：Chemla 1991、Chemla 1992、Chemla 1997。我的主要研究成果总结见Chemla 2002。Chemla(ed.)1992中的几篇文章从多种探究领域并采用比较法研究中国历史上的证明和论证活动。

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